Você subiu um Cubo de Rubike agora você quer colocá -lo de volta em ordem. Que sequência de movimentos você deve fazer?
Surpresa: você pode responder a esta pergunta com Álgebra moderna.
A maioria das pessoas que passaram por cursos de matemática do ensino médio teram uma aula chamada Álgebra – talvez até uma sequência de classes chamada Algebra I e Algebra II que pediu para você para que você resolver para x. A palavra “álgebra” pode evocar memórias de equações polinomiais de aparência complicada como AX² + bx + c = 0 ou gráficos de funções polinomiais como y = AX² + bx + c.
Você deve se lembrar de aprender sobre a fórmula quadrática para descobrir as soluções para essas equações e descobrir onde a trama cruza o x-Axis também.
Equações e parcelas como essas fazem parte da álgebra, mas não são a história toda. O que unifica a álgebra é a prática de estudar as coisas – como os movimentos que você pode fazer no cubo de Rubik ou os números em uma face do relógio que você usa para contar o tempo – e a maneira como eles se comportam quando você os monta de maneiras diferentes. O que acontece quando você coloca os movimentos do cubo do Rubik ou adicionam números em um relógio?
No meu trabalho Como matemáticoAprendi que muitas perguntas de álgebra se resumem a classificar objetos por suas semelhanças.
Conjuntos e grupos
Como as equações gostaram AX² + bx + c = 0 e suas soluções levam à álgebra abstrata?
A versão curta da história é que os matemáticos encontraram fórmulas que se pareciam muito com a fórmula quadrática para equações polinomiais em que o poder mais alto de x foram três ou quatro. Mas eles não conseguiram fazer isso por cinco. Demorou matemático Évariste Galois e técnicas que ele desenvolveu – agora chamado teoria do grupo – argumentar convincentes de que essa fórmula não poderia existir para polinômios com um poder mais alto de cinco ou mais.
Então, o que é um grupo, afinal?
Começa com um conjuntoque é uma coleção de coisas. A tigela de frutas na minha cozinha é um conjunto, e a coleção de coisas nela são pedaços de frutas. Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 também formam um conjunto. Os conjuntos por conta própria não têm muitas propriedades – ou seja, características – mas se começarmos a fazer as coisas nos números de 1 a 12, ou a fruta na tigela de frutas, ficará mais interessante.
Vamos chamar esse conjunto de números de 1 a 12 “números de relógio”. Em seguida, podemos definir uma função de adição para os números do relógio usando a maneira como contamos o tempo. Ou seja, dizer “3 + 11 = 2” é a maneira como adicionaríamos 3 e 11. Parece estranho, mas se você pensar sobre isso, 11 horas e 3 horas são 2 horas.
A adição do relógio tem algumas propriedades agradáveis. Isso satisfaz:
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encerramentoonde adicionar coisas no conjunto dá a você outra coisa no conjunto,
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identidadeonde há um elemento que não altera o valor de outros elementos no conjunto quando adicionado – adicionando 12 a qualquer número será igual a esse mesmo número,
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Associatividadeonde você pode adicionar onde quiser no conjunto,
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inversasonde você pode desfazer o que um elemento faz, e
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Comunicaçãoonde você pode alterar a ordem de quais números de relógio você somará sem alterar o resultado: um + b = b + um.
Ao satisfazer todas essas propriedades, os matemáticos podem considerar os números do relógio com a adição do relógio um grupo. Em suma, um grupo é um conjunto com alguma maneira de combinar os elementos em camadas em cima. O conjunto de frutas na minha tigela de frutas provavelmente não pode ser transformado em um grupo facilmente – o que é uma banana mais uma maçã? Mas podemos transformar um conjunto de números de relógio em um grupo, mostrando que a adição do relógio é uma maneira de levar dois números de relógio e chegar a um novo que satisfaz as regras descritas acima.
Anéis e campos
Junto com grupos, os outros dois Tipos fundamentais de objetos algébricos Você estudaria em uma introdução à álgebra moderna são anéis e campos.
Poderíamos introduzir uma segunda operação para os números do relógio: multiplicação de relógio, onde 2 vezes 7 é 2, porque as 14 horas são as mesmas que as 2 horas. Com a adição do relógio e a multiplicação do relógio, os números do relógio atendem aos critérios para o que os matemáticos chamam um anel. Isso ocorre principalmente porque a multiplicação do relógio e a adição do relógio juntos satisfazem um componente -chave que define um anel: a propriedade distributiva, onde um(b + c) = ab + AC. Por último, campos são anéis que satisfazem ainda mais condições.
Na virada do século XX, os matemáticos David Hilbert e Emmy noether – que estavam interessados em entender como os princípios do Einstein’s A relatividade funcionou matematicamente – Álgebra unificada e mostrou a utilidade de estudar grupos, anéis e campos.
É tudo divertido e jogos até você fazer as contas
Grupos, anéis e campos são abstratos, mas têm muitas aplicações úteis.
Por exemplo, as simetrias das estruturas moleculares são categorizadas por diferentes grupos de pontos. Um grupo de pontos descreve maneiras de mover uma molécula no espaço para que, mesmo que você mova os átomos individuais, o resultado final seja indistinguível da molécula com a qual você começou.
Mas vamos dar um exemplo diferente que usa anéis em vez de grupos. Você pode configurar um conjunto de equações bastante complicado para Descreva um quebra -cabeça sudoku: Você precisa de 81 variáveis para representar cada local em que você pode colocar um número na grade, expressões polinomiais para codificar as regras do jogo e expressões polinomiais que levam em consideração as pistas já no quadro.
Para obter os espaços no quadro de jogos e as 81 variáveis para corresponder bem, você pode usar dois subscritos para associar a variável a um local específico no quadro, como usar x₃₅ para representar a célula na terceira linha e quinta coluna.
A primeira entrada deve ser um dos números 1 a 9, e representamos esse relacionamento com (x₁₁ – 1) (x₁₁ – 2) (x₁₁ – 3) ⋅leoleoprx₁₁ – 9). Essa expressão é igual a zero se e somente se você seguir as regras do jogo. Como todo espaço no quadro segue esta regra, isso já é 81 equações apenas para dizer: “Não conecte nada além de 1 a 9”.
A regra “1 a 9 a 9 aparece exatamente uma vez na fila superior” pode ser capturada com alguns pedaços sorrateiros de pensamento algébrico. A soma da linha superior vai somar 45, o que é dizer x₁₁ + x₁₂ + ⋅⋅⋅ + x₁₉ – 45 será zero, e o produto da linha superior será o produto de 1 a 9, o que é dizer x₁₁ x₁₂ ⋅⋅ x₁₉ – 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2vidão será zero.
Se você está pensando que leva mais tempo para configurar todas essas regras do que para resolver o quebra -cabeça, você não está errado.
Transformar sudoku em álgebra leva um pouco de trabalho. Courtney Gibbons
O que recebemos fazendo essa tradução complicada em álgebra? Bem, nós podemos usar Algoritmos do final do século XX Para descobrir quais números você pode conectar à placa que satisfazem todas as regras e todas as pistas. Esses algoritmos são baseados na descrição da estrutura do anel especial – chamado um ideal – Essas pistas do quadro de jogos são feitas dentro do anel maior. Os algoritmos dirão se não há solução para o quebra -cabeça. Se houver várias soluções, os algoritmos encontrarão todos eles.
Este é um pequeno exemplo em que a configuração da álgebra é mais difícil do que apenas fazer o quebra -cabeça. Mas as técnicas generalizam amplamente. Você pode usar álgebra para enfrentar Problemas na inteligência artificialrobótica, criptografia, computação quântica e muito mais – tudo com o mesmo saco de truques que você usaria para resolver o quebra -cabeça de Sudoku ou o cubo de Rubik.
Este artigo é republicado de A conversauma organização de notícias independente sem fins lucrativos, trazendo fatos e análises confiáveis para ajudá -lo a entender nosso mundo complexo. Foi escrito por: Courtney GibbonsAssim, Hamilton College
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Courtney Gibbons é afiliada à Associação para Mulheres em Matemática e à Sociedade Matemática Americana.